线代笔记

行列式

行列式的性质（用来化简行列式）

1. 行列式互换，行列式的值不变；
2. 两行（列）互换，行列式变号；
3. 提公因子，一行（列）出一个k；
4. 行列式相加（按行、列拆分都同理）：$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1}+b_{i1} & a_{i2}+b_{i2} & \cdots & a_{in}+b_{in} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{i1} & b_{i2} & \cdots & b_{in} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$
5. 一行（列）×k（k能为0，因为k=0无效）加到另一行（列），行列式的值不变。

   推论：两行（列）成比例，行列式为零。

上、下三角、主对角行列式

$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} =\prod_{i=1}^{n} a_{ii}$

副对角线的上、下三角、副对角行列式

$\begin{vmatrix} a_{11} & \dots & a_{1,n-1} & a_{1n} \\ a_{21} & \dots & a_{2,n-1} & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & \dots & 0 & 0 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & \dots & 0 & a_{1n} \\ 0 & \dots & a_{2,n-1} & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & \dots & a_{n,n-1} & a_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & \dots & 0 & a_{1n} \\ 0 & \dots & a_{2,n-1} & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & \dots & 0 & 0 \end{vmatrix} = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} \prod_{i=1}^{n} a_{i, n-i+1}$

n阶ab型行列式

$\begin{vmatrix} a & b & \cdots & b \\ b & a & \cdots & b \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b & b & \cdots & a \end{vmatrix} = [a+(n-1)b]{(a-b)}^{n-1}$

拉普拉斯展开式

设A为m阶矩阵，B为n阶矩阵，则

1. $\begin{vmatrix} A & C \\ O & B \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A & O \\ C & B \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A & O \\ O & B \end{vmatrix} = |A||B| \\$
   
2. $\begin{vmatrix} C & A \\ B & O \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} O & A \\ B & C \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} O & A \\ B & O \end{vmatrix} = (-1)^{mn} |A||B|$

范德蒙行列式

$D_n = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} = \prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i)$

余子式与代数余子式的定义

对于行列式：

$|A|= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$

划去 $a_{ij}$ 所在的第 $i$ 行和第 $j$ 列，剩下的 $n-1$ 阶行列式为 $a_{ij}$ 的余子式，记作 $\boldsymbol{M_{ij}}$。称 $(-1)^{i+j} M_{ij}$ 为 $a_{ij}$ 的代数余子式，记作 $\boldsymbol{A_{ij}}$。

评注：$a_{ij}$ 的余子式 $M_{ij}$ 和代数余子式 $A_{ij}$ 与第 $i$ 行和第 $j$ 列元素无关。

按行（或列）展开定理

$a_{i1}A_{j1} + a_{i2}A_{j2} + \cdots + a_{in}A_{jn} = \begin{cases} |A|, & i=j \\ \;0, & i \neq j \end{cases}$
$a_{1i}A_{1j} + a_{2i}A_{2j} + \cdots + a_{ni}A_{nj} = \begin{cases} |A|, & i=j \\ \;0, & i \neq j \end{cases}$

行列式的公式

设A，B矩阵为n阶矩阵，则

1. $|kA|=k^{n}A|$
2. |AB|=|A||B|
3. $|A^T|=|A|$
4. $|A^{-1}|={|A|}^{-1}$
5. $|A^*|={|A|}^{n-1}$
6. 设A的特征值为$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$，则$|A|=\prod_{i=1}^n\lambda_i$
7. 若A与B相似，则|A|=|B|

Cramer法则

设线性方程组

$\left\{ \begin{array}{c} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \cdots \quad \cdots \quad \cdots \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n = b_n \end{array} \right.$

系数矩阵的行列式

$D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} \neq 0$

则方程组有唯一解$x_1 = \frac{D_1}{D}, x_2 = \frac{D_2}{D}, \cdots, x_n = \frac{D_n}{D}$，其中

$D_j = \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1j-1} & b_1 & a_{1j+1} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & \cdots & a_{2j-1} & b_2 & a_{2j+1} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nj-1} & b_n & a_{nj+1} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} \quad (j=1,2,\cdots,n)$

推论

齐次线性方程组

$\left\{ \begin{array}{c} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = 0 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = 0 \\ \cdots \quad \cdots \quad \cdots \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n = 0 \end{array} \right.$

1. 只有零解$\iff D≠0 \iff r(A) = n$
2. 有非零解$\iff D=0 \iff r(A) < n$

矩阵

概念

• 若矩阵A与B有相同的行数和相同的列数，则称A，B为同型矩阵。
• 设$A=(a_{i,j})$，$B=(b_{i,j})$为同型矩阵，称矩阵$(a_{i,j}+b_{i,j})$为A与B的和，记作A+B.
• 矩阵乘法满足结合律和分配律，即$(AB)C=A(BC), \; A(B+C)=AB+AC, \; (B+C)A=BA+CA$
• 矩阵乘法不满足交换律，即在一般情况下$AB \neq BA$.
  从而，${(AB)}^2=ABAB \neq A^2 B^2,\\ (A+B)(A-B)=A^2-AB+BA-B^2\neq A^2-B^2, \\ {(A+B)}^2=(A+B)(A+B)=A^2+AB+BA+B^2 \neq A^2+2AB+B^2$
  除非，$AB=BA$，如$B=0,E,A^{-1},A^{*}$.
• 矩阵乘法不满足消去律，即在一般情况下$[AB=AC\text{且}A \neq 0] \nRightarrow B=C$.
• $AB=0 \nRightarrow A=0 \text{或} B=0$.
• 消去律的充分条件：
  1. 若A为可逆矩阵，则$AB=AC$