考研数二公式&二级结论整理（高数篇）

高阶导数问题

泰勒展开式

$f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x - a)^3 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n + \cdots$

$e^x = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + \cdots \; (- \infty < x < + \infty)$

$\ln(1+x) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots + (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} + \cdots \; (-1 < x \leq 1)$

$\frac{1}{1+x} = \sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n = 1 - x + x^2 - x^3 + \cdots + (-1)^n x^n + \cdots \; (-1 < x <1)$

$\frac{1}{1-x} = \sum\limits_{n=0}^{\infty}x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots + x^n + \cdots \; (-1 < x <1)$

$(1 + x)^{\alpha} = 1 + \alpha x + \frac{\alpha ( \alpha -1)}{2!} x^2 + \frac{ \alpha ( \alpha -1)( \alpha -2)}{3!} x^3 + \cdots + \frac{ \alpha ( \alpha - 1) \cdots (\alpha - n + 1)}{n!}x^n + \cdots , \begin{cases} x \in (-1, 1) , & \alpha \leq -1 \\ x \in (-1, 1] , & -1 < \alpha < 0 \\ x \in [-1, 1] , & \alpha > 0 , \alpha \notin N^+\\ x \in R , & \alpha \in N^+ \end{cases}$

$\sin(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \cdots \; (- \infty < x < + \infty)$

$\cos(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots + (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} + \cdots \; (- \infty < x < + \infty)$

$\tan(x) = x + \frac{1}{3}x^3 + \cdots$

$\arcsin(x) = x + \frac{1}{6}x^3 + \cdots$

$\arctan(x) = x - \frac{1}{3}x^3 + \cdots$

$$

$$

莱布尼兹公式

• ${(uv)}^{(n)} = u^{(n)}v + C_{n}^{1}u^{(n-1)}v^{'} + \cdots + C_{n}^{k}u^{(n-k)}v^{(k)} + \cdots + uv^{(n)}$

  莱布尼兹公式不方便时的优雅解法（找规律）：

高阶导数在 x≠0 时的值：运用常见初等函数的 n 阶导数公式

求高阶导数在 x≠0 时的值，运用常见初等函数的 n 阶导数公式。这些公式不需要记忆，很容易通过求一次或二次导数，来归纳得到。

1. $(e^{ax+b})^{(n)} = a^ne^{ax+b}$
2. $(sin(ax+b))^{(n)} = a^nsin(\frac{n\pi}{2}+ax+b)$
3. $(cos(ax+b))^{(n)} = a^ncos(\frac{n\pi}{2}+ax+b)$
4. $(ln(1+x))^{(n)} = \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(1+x)^n}$
5. $(ln(ax+b))^{(n)} = (-1)^{n-1} a^n \frac{(n-1)!}{(ax+b)^n}$
6. $((1+x)^\alpha)^{(n)} = \alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)(1+x)^{\alpha-n}$
7. $(\frac{1}{ax+b})^{(n)} = (-1)^n a^n \frac{n!}{(ax+b)^{n+1}}$

   不用背，直接靠这样推导：

多项式高阶导数在零点的值

• 令 $f(x) = (x-x_0)^n$，则 $f^{(n)}(x_0) = n! , f^{(k)}(x_0) = 0 ,$ (k ≠ n这里k可以大于n也可以小于n)

积分公式

常用

1. $\int \frac{1}{\sqrt{x}} = 2\sqrt{x} + C$
2. $\int a^x dx = \frac{a^x}{ln a} + C$, a>0 且 a ≠ 1
3. $\int tanx \, dx = -ln|cosx| + C$
4. $\int cotx \, dx = ln|sinx| + C$
5. $\int \frac{dx}{cosx} = \int secx \, dx = ln|secx+tanx| + C$
6. $\int \frac{dx}{sinx} = \int cscx \, dx = ln|cscx-cotx| + C$
7. $\int sec^2x \, dx = tanx + C$
8. $\int csc^2x \, dx = -cotx + C$
9. $\int secx \, tanx \, dx = secx + C$
10. $\int cscx \, cotx \, dx = -cscx + C$
11. $\int \frac{1}{a^2+x^2}dx = \frac{1}{a} arctan \frac{x}{a} + C$
12. $\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx = arcsin \frac{x}{a} + C(a>0)$
13. $\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx = ln(x+\sqrt{x^2+a^2}) + C$ (常见a=1)
14. $\int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx = ln|x+\sqrt{x^2-a^2}| + C$ (|x|>|a|)
15. $\int \frac{1}{x^2-a^2}dx = \frac{1}{2a}ln|\frac{x-a}{x+a}| + C$
16. $\int \frac{1}{a^2-x^2}dx = \frac{1}{2a}ln|\frac{x+a}{x-a}| + C$
17. $\int tan^2x \, dx = tanx - x + C \, (tan^2x = sec^2x - 1)$ ✏️
18. $\int cot^2x \, dx = -cotx - x + C \, (cot^2x = csc^2x - 1)$ ✏️

少见

1. $\int \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{a^2}{2} arcsin \frac{x}{a} + \frac{x}{2} \sqrt{a^2-x^2} + C (a>|x| \geq 0)$
2. $\int sin^2x \, dx = \frac{x}{2} - \frac{sin2x}{4} + C (sin^2x = \frac{1-cos2x}{2})$
3. $\int cos^2x \, dx = \frac{x}{2} + \frac{sin2x}{4} + C (cos^2x = \frac{1+cos2x}{2})$

特殊的分部积分公式

e^x和sinx&cosx

1. $\int e^{ax} sinbx dx = \frac{ \left | \begin{matrix} (e^{ax})' &(sinbx)'\\ e^{ax} &sinbx\\ \end{matrix} \right | }{a^2+b^2} + C = \frac{ae^{ax}sinbx-be^{ax}cosbx}{a^2+b^2}+C$
2. $\int e^{ax} cosbx dx = \frac{ \left | \begin{matrix} (e^{ax})' &(cosbx)'\\ e^{ax} &cosbx\\ \end{matrix} \right | }{a^2+b^2} + C = \frac{ae^{ax}cosbx+be^{ax}sinbx}{a^2+b^2}+C$

结论

周期

• 设f(x)是以T为周期的连续函数，则对任意的实数a，都有$\int_{a}^{a+T} f(x) dx = \int_{0}{T} f(x) dx$，即在长度为一个周期的区间上的定积分，与该区间的起点位置无关。

区间再现公式

• 设f(x)为连续函数，则$\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$
• 证明：令t=a+b-x

还有一个结论可以直接用（根据区间再现公式推出的）：$\int_{0}^{\pi} x f(\sin x) dx = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} f(\sin x) dx$

点火公式 及其 变形

• 末尾为$\frac{1}{2}$（n为正偶数），则点火（再乘$\frac{\pi}{2}$）
• 末尾为1（n为正奇数），则点火失败（不乘，结束）
• $\int_{0}^{\pi} \sin^n x dx = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x dx$

证明：$\int_{0}^{\pi} \sin^n x dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n (t+\frac{\pi}{2}) d(t+\frac{\pi}{2}) = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^n t dt$（cosx为偶函数）$= 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} cos^n x dx = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin^n x dx$

• （n为正偶数）$\int_{0}^{\pi} \cos^n x dx = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x dx$

证明：$\int_{0}^{\pi} \cos^n x dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^n (t+\frac{\pi}{2}) d(t+\frac{\pi}{2}) = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n t dt$（$sin^n x$为偶函数）$= 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin^n x dx = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} cos^n x dx$

• （n为正奇数）$\int_{0}^{\pi} \cos^n x dx = 0$

证明：同理证到$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n t dt$时，因n为奇数，所以$sin^n x$为奇函数

• （n为正奇数）$\int_{0}^{2\pi} sin^n x dx = \int_{0}^{2\pi} cos^n x dx = 0$
• （n为正偶数）$\int_{0}^{2\pi} sin^n x dx = \int_{0}^{2\pi} cos^n x dx = 4 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x dx = 4 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x dx$

高斯积分

• $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$
• $\int_{-\infty}^{0} e^{-x^2} dx = \int_{0}^{+\infty} e^{-x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$
• $y = e^{-x^2}$图像如图所示（水平渐近线y=0）

n^(1/n)

• $\lim\limits_{n \to \infty}n^{\frac{1}{n}}=1$

奥特曼公式

• 条件：$a_i(i=1, 2, \cdots, m)$都是非负数
• $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+\cdots+a_m^n}=max\{a_1, a_2, \cdots, a_m\}.$

曲率公式

• 曲率 $K = \frac{| y^{''} |}{(1+y^{'2})^{3/2}}$
• 曲率半径 $r = \frac{1}{K}$
• 参数方程(x(t),y(t)),曲率 $K = \frac{| x'(t)y''(t) - x''(t)y'(t) |}{[x'^{2}(t)+y'^{2}(t)]^{3/2}}$

法线斜率

• $-\frac{1}{y'(x_0)}$

圆锥曲线

椭圆

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

其中 a 和 b 分别为椭圆的半长轴和半短轴。

双曲线

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 或 $\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$

抛物线

从原点 (0, 0) 平移到任意点 (h, k) 。
以 x 为轴的抛物线的标准方程为：$(y-k)^2 = 4p(x-h)$

以 y 为轴的抛物线的标准方程为：$(x-h)^2 = 4p(y-k)$

三角函数图像

sinx & arcsinx

• 定义域与值域互换，关于y=x对称

cosx & arccosx

• arccosx没有负的值域，所以比如遇到x=0，大胆写$\frac{\pi}{2}$ ，因为不可能是 $-\frac{\pi}{2}$。

arcsinx & arccosx

• 关于$y=\frac{\pi}{4}$ 对称，相交于点$(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\pi}{4})$。
• $arcsinx + arccosx = \frac{\pi}{2} (-1 \leq x \leq 1)$

cscx = 1/sinx

• $x→k\pi \,$时，函数的极限是$\, ∞ \,$。

secx = 1/cosx

• $x→\frac{k\pi}{2} \,$时，函数的极限是$\, ∞ \,$。

tanx & cotx

• 遇到间断点的题目时，注意tanx和cotx的定义域是不一样的，cotx不能直接根据1/tanx来判断定义域！
• 当$x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$ 时，y=tanx 和 y=cotx 函数值相等，等于±1。

arctanx & arccotx

• $-\frac{\pi}{2} < arctanx < \frac{\pi}{2} \, , \, 0 < arccotx < \pi$
• 关于直线 $y = \frac{\pi}{4}$ 对称，相交于点 $(1,\frac{\pi}{4})$ 。
• $arctanx + arccotx = \frac{\pi}{2} (-\infty < x < +\infty)$

韦达定理（已知特征根，求原微分方程）

• 用韦达定理，可以求出原常系数齐次方程的各阶系数。初中所学的韦达定理为二阶，对此熟练掌握，起码能轻松求出二阶方程的各阶系数（只要令a=1即可，因为标准方程最高阶y’’的系数本就该为1）。
• 初中所学的韦达定理：$\\ ax^2+bx+c=0\\ x_1+x_2=-\frac{b}{a}, \; x_1x_2=\frac{c}{a}\\ \text{（令a=1）}$
• 二阶以上的不建议用韦达定理求，主要有i在，相乘的时候也挺麻烦的，老老实实用$(\lambda-\lambda_1)(\lambda-\lambda_2)\cdots(\lambda-\lambda_n)$ 即可。

和差化积

• $\sin x + \sin y = 2 \sin (\frac{x+y}{2}) \cos (\frac{x-y}{2})$
• $\sin x - \sin y = 2 \cos (\frac{x+y}{2}) \sin (\frac{x-y}{2})$
• $\cos x + \cos y = 2 \cos (\frac{x+y}{2}) \cos (\frac{x-y}{2})$
• $\cos x - \cos y = -2 \sin (\frac{x+y}{2}) \sin (\frac{x-y}{2})$

注意事项

• 看到lnx，想到x>0
• $|u|=\sqrt{u^2}$
• $ln(u_1 u_2 u_3)=lnu_1+lnu_2+lnu_3$

取整函数

• $y=[x]$ 为取整函数（向下取整），取不超过x的最大整数。
• $[-1.99] = -2$
• $[x+n] = [x] + n$,其中n为整数
• $x-1 < [x] \leq x$
• $\lim\limits_{x\to0^{+}} [x] = 0; \lim\limits_{x\to0^{-}} [x] = -1$

常用的放缩不等式

转自知乎-常用的放缩不等式

指数函数放缩

放缩成一次函数

1. $e^x \geq x+1 > x$ (仅当x=0时取等号)
2. $e^x \geq {e}{x}$ (仅当x=1时取等号)

放缩成反比例函数

3. $e^x \leq \frac{1}{1-x},(x < 1)$ (仅当x=0时取等号)
4. $e^x < -\frac{1}{x},(x < 0)$

放缩成高幂次函数

5. $e^x \geq 1+x+\frac{1}{2}x^2,(x \geq 0)$ (仅当x=0时取等号)
6. $e^x \leq 1+x+\frac{1}{2}x^2,(x \leq 0)$ (仅当x=0时取等号)
7. $e^x \leq 1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3$ (仅当x=0时取等号)

对数函数放缩

放缩成一次函数

8. $ln(x+1) \leq x$ (仅当x=0取等号)
9. $lnx \leq x-1 < x$ (仅当x=1时取等号)
10. $lnx \leq \frac{x}{e}$ (仅当x=e时取等号)

放缩成双撇函数

11. $lnx \geq \frac{1}{2}(x-\frac{1}{x}),(0 < x \leq 1)$ (仅当x=1时取等号)
12. $lnx \leq \frac{1}{2}(x-\frac{1}{x}),(x \geq 1)$ (仅当x=1时取等号)
13. $lnx \geq \sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}},(0 < x \leq 1)$ (仅当x=1时取等号)
14. $lnx \leq \sqrt{x}-\frac{1}(\sqrt{x}),(x \leq 1)$ (仅当x=1时取等号)

放缩成类反比例函数

15. $lnx \geq 1-\frac{1}{x}$ (仅当x=1时取等号)
16. $xlnx \geq x-1$ (仅当x=1时取等号)
17. $ln(x+1) \geq \frac{x}{1+x}$ (仅当x=0时取等号) `(遇到过)`
18. $lnx \leq \frac{2}{x+1}(x-1),(0 < x \leq 1)$ (仅当x=1时取等号)
19. $lnx \geq \frac{2}{x+1}(x-1),(x \geq 1)$ (仅当x=1时取等号)
20. $ln(x+1) \leq \frac{2x}{x+2},(-1 < x \leq 0)$ (仅当x=0时取等号)
21. $ln(x+1) \geq \frac{2x}{x+2},(x \geq 0)$ (仅当x=0时取等号)

放缩成二次函数

22. $lnx \leq x^2-x$ (仅当x=1时取等号)
23. $lnx \leq \frac{1}{2}(x^2-1)$ (仅当x=1时取等号)
24. $ln(1+x) \leq x-\frac{1}{2}x^2,(-1 < x \leq 0)$ (仅当x=0时取等号)
25. $ln(1+x) \geq x-\frac{1}{2}x^2,(x \geq 0)$ (仅当x=0时取等号)

指对混合放缩

26. $e^x-lnx > (x+1)$ (仅当x=时取等号)

    证明： 将不等式 $e^x \geq x+1$ (仅当x=0时取等号)和 $lnx \leq x-1$ (仅当x=1时取等号)相减即可得。因为两不等式等号不能同时取到，故该不等式为严格不等号。

    
27. $e^x+(1-e)x \geq xlnx+1$ (仅当x=1时取等号)

    

28. $xe^x \geq x+lnx+1$ (仅当x+lnx=0时取等号) (朗博不等式)
29. $e^x+exlnx \geq ex^2$ (仅当x=1时取等号)

三角函数放缩

30. $sinx \leq x \leq tanx,(0 \leq x < \frac{\pi}{2})$ (仅当x=0时取等号) `数学归纳题常用`
31. $sinx \geq x \geq tanx,(-\frac{\pi}{2} < x \leq 0)$ (仅当x=0时取等号) `数学归纳题常用`

• $arctanx \leq x \leq arcsinx (0 \leq x \leq 1)$
• $sinx < x (x>0)$

32. $sin \geq x-\frac{1}{2}x^2$ (仅当x=0时取等号)
33. $cosx \geq 1-\frac{1}{2}x^2$ (仅当x=0时取等号)
34. $sinx \leq x-\frac{1}{6}x^3,(x \leq 0)$ (仅当x=0时取等号)
35. $sinx \geq x-\frac{1}{6}x^3,(x \geq 0)$ (仅当x=0时取等号)
36. $cosx \leq 1-\frac{1}{2}sin^2x$ (仅当 $x=2k \pi ,k \in Z$ 时取等号)

笔记

函数极限

反函数

• $x=f^{-1}(y) \text{的图像与} y=f(x) \text{完全重合；} y=f^{-1}(x) \text{的图像和} y=f(x) \text{关于} y=x \text{对称。}$
• 有反函数的函数不一定是单调函数。（p4）

有界性

• 不知区间，无法谈论有界性。证明有界性需要用y=-M和y=M包住。

奇偶性

• -f(-x)与f(x)图像关于原点对称。
• f(x)+f(-x)必是偶函数；f(x)-f(-x)必是奇函数。任何一个函数都可以写成奇函数+偶函数的形式。
• 求导奇偶性会换；积分$f(x) \Rightarrow \int_{0}^{x}f(t)dt$奇偶性会换。
• 设对任意的x，y，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，则f(x)是奇函数。

  证明：令x=y=0,则f(0)=f(0)+f(0),f(0)=0;再令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x),即f(-x)=f(x),故f(x)是奇函数。

周期性

• $\text{若} f(x) \text{以} T \text{为周期，则} f(ax+b) \text{以} \frac{T}{|a|} \text{为周期。}$
• $\text{若} g(x) \text{是周期函数，则复合函数} f[g(x)] \text{也是周期函数，如 } e^{\sin{x}},\cos^2{x} \text{ 等。}$
• $\text{若} f(x) \text{是以T为周期的可导函数，则} f'(x) \text{也以T为周期。}$
• $\text{若} f(x) \text{是以T为周期的连续函数，则只有在} \int_0^{T}f(x)dx=0 \text{时，} \int_0^{x}f(t)dt \text{也以T为周期。}$

最值

• 看到$\frac{1}{u}$，可用u来研究最值。（结论相反，即两者的最大值点、最小值点相反）。

指数函数

• $(a^{\alpha})^{\beta}=a^{\alpha \beta} (a\text{是正实数，}\alpha,\beta \text{是任意实数})$

有界性

• 若y=f(x)在[a,b]上为连续函数，则f(x)在[a,b]上必定有界。
• 若f(x)在(a,b)内为连续函数，且$\lim\limits_{x \to a^+}f(x)$与$\lim\limits_{x \to b^-}f(x)$都存在，则f(x)在(a,b)内必定有界。
• 有界函数与有界函数的和、差、积仍为有界函数。

极限的局部保号性

• $lim f > 0 \Rightarrow f > 0$
• $f \leq 0 || f < 0 \Rightarrow lim f \leq 0$

(只讨论0？)

不同函数在x->∞时比大小

• 当 x → +∞ 时，有$ln^{\alpha}x \ll x^{\beta} \ll a^x,$其中α,β>0,a>1,符号“≪”叫远远小于。
• 当 n → ∞ 时，有$ln^{\alpha}n \ll n^{\beta} \ll a^n \ll n! \ll n^n,$α,β>0,a>1 .

数列极限

子列

• 子列的项数为无穷多项。

等差数列

• 首项为$a_1$,公差为d(d≠0)的数列
• $a_1, a_1+d, a_1+2d, \cdots, a_1+(n-1)d, \cdots .$
• 前n项的和$S_n=\frac{n}{2}[2a_1+(n-1)d]=\frac{n}{2}(a_1+a_n) .$

等比数列

• 首项为$a_1$,公比为r(r≠0)的数列
• $a_1, a_1r, a_1r^2, \cdots, a_1r^{n-1}, \cdots .$
• 前n项的和$S_n= \begin{cases} na_1, & r=1, \\ \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}, & r≠1. \end{cases}$

常见数列求和公式

• $\sum\limits_{k=1}^n k^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} .$ [推导过程](https://www.hanspub.org/journal/PaperInformation?paperID=65537)
• $\sum\limits_{k=1}^n k^3 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = (\frac{n(n+1)}{2})^2 .$ (书中没写)
• $\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{1\times2} + \frac{1}{2\times3} + \frac{1}{3\times4} + \cdots + \frac{1}{n\times(n+1)} = \frac{n}{n+1} .$

  推导：（裂项）$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$

一个重要数列的结论

• 数列$(1+\frac{1}{n})^n$单调递增
• $\lim\limits_{n \to +∞}(1+\frac{1}{n})^n = e .$

绝对值-极限问题

• 结论：若$\lim\limits_{n \to \infty} a_n = A$，则$\lim\limits_{n \to \infty}|a_n|=|A| .$

  证明：∵$\lim\limits_{n \to \infty}a_n=A$，∴对任意正数$\varepsilon$，存在正整数N，当n>N时，有$|a_n-A|<\varepsilon .$
  又由不等式$||a|-|b||≤|a-b|$，有$||a_n|-|A|| \leq |a_n-A| < \varepsilon .$ 故$\lim\limits_{n \to \infty}|a_n|=|A| .$

• 此命题反过来不对，如取$a_n=(-1)^n$，则$\lim\limits_{n \to \infty}|(-1)^n|=1 .$但$\lim\limits_{n\to\infty}(-1)^n$不存在。
• 在本题中若A=0，则$||a_n|-|A||=||a_n|-0|=|a_n-0|$，即有$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0 \Leftrightarrow \lim\limits_{n\to\infty}|a_n|=0$，这个结论常用。

  1. ∴$\lim\limits_{n\to\infty}|x_n-a|=0\Rightarrow\lim\limits_{n\to\infty}x_n-a=0\rightarrow\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a$
  2. 一般地，若要证$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0$，可转化为证$\lim\limits_{n\to\infty}|a_n|=0$，由于$|a_n|\geq0$，若使用夹逼准则，则省了一半的力气，只需找到一个数列 ${b_n}$ 满足$|a_n|\geq b_n$，且$\lim\limits_{n\to\infty}b_n=0$即可。

• 此结论对函数亦成立，即若$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$，则$\lim\limits_{x\to x_0}|f(x)|=|A| .$

收敛数列的性质-唯一性

• 极限若存在，则极限唯一。

海涅定理（归结原则）

• 设 f(x) 在 $\mathring{U}(x_0,\delta)$ 内有定义，则 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$存在$\Leftrightarrow$对任何 $\mathring{U}(x_0,\delta)$ 内以 $x_0$ 为极限的数列 ${x_n}(x_n≠x_0)$ ，极限$\lim\limits_{n\to\infty}f(x_0)=A$存在。

放缩的常用方法

• $n·u_{min} \leq u_1+u_2+\cdots+u_n \leq n·u_{max} .$
• 当$u_i\leq0$时，$1·u_{max}\leq u_1+u_2+\cdots+u_n\leq n·u_{max} .$
• 设a,b为实数，则
  • $|a\pm b|\leq|a|+|b|$
  • $||a|-|b||\leq|a-b|$
  • 推广：（n个实数）$|a_1\pm a_2\pm\cdots\pm a_n|\leq|a_1|+|a_2|+\cdots+|a_n| .$
• $(a,b\leq0)\sqrt{ab}\leq\frac{a+b}{2}\leq\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$
  • $|ab|\leq\frac{a^2+b^2}{2}$

    例如：若$u_n>0$，则$\frac{u_n}{n}=u_n·\frac{1}{n}\leq\frac{u_n^2+\frac{1}{n^2}}{2} .$

  • $(a,b,c\geq0)\sqrt[3]{abc}\leq\frac{a+b+c}{3}\leq\sqrt[3]{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}$
• 设$a \geq b \geq 0,$则$\begin{cases} m>0, & a^m\geq b^m \\ m<0, & a^m\leq b^m \end{cases}$
• 若 0 < a < x < b , 0 < c < y < d ,则$\frac{c}{b}<\frac{y}{x}<\frac{d}{a} .$
  • 考研中考过：当$n\pi < x < (n+1)\pi, 2n < S(x) < 2(n+1)$时，$\frac{2n}{(n+1)\pi}<\frac{S(x)}{x}<\frac{2(n+1)}{n\pi} .$
• $\sin x < x < \tan x(0 < x < \frac{\pi}{2}) .$
• $\sin x < x(x>0) .$
  • 考研中考过：当$x_n>0$时，$x_{n+1}=\sin x_n < x_n$，故${x_n}$单调减少.
• 当$0 < x < \frac{\pi}{4}$时，$x < \tan x < \frac{4}{\pi}x$
• 当$0 < x < \frac{\pi}{2}$时，$\sin x > \frac{2}{\pi}x$
• $\arctan x \leq x \leq \arcsin x (0\leq x\leq 1)$
  • 可考：当$x_n>0$时，$x_{n+1}=\arctan x_n < x_n$，故${x_n}$单调减少.
• $e^x \geq x+1 (\forall x)$
  • 可考：当$x_{n+1}=e^{x_n}-1$时，由$e^{x_n}-1 \geq x_n,$得$x_{n+1} \geq x_n$，即${x_n}$单调不减.
• $x-1 \geq \ln{x} (x>0)$
  • 可考：当$x_n>0$时，若$x_{n+1}=\ln{x_n}+1,$由$\ln{x_n}+1 \leq x_n$，得$x_{n+1} \leq x_n$，即${x_n}$单调不增.
• $\frac{1}{1+x} < \ln{(1+\frac{1}{x})} < \frac{1}{x} (x>0)$或$\frac{x}{1+x} < \ln{(1+x)} < x (x>0) .$
• 利用闭区间上连续函数必有最大值与最小值.
• 利用压缩映射原理.
  • 原理一  对数列${x_n}$，若存在常数 k (0 < k < 1)，使得$|x_{n+1}-a| \leq k|x_n-a|, n=1, 2, \cdots$，则${x_n}$收敛于a.
  • 证明  $0 \leq |x_{n+1}-a| \leq k|x_n-a| \leq k^2|x_{n-1}-a| \leq \cdots \leq k^n|x_1-a|$，由于$\lim\limits_{n \to \infty}k^n=0$，根据夹逼准则，有$\lim\limits_{n\to\infty}|x_{n+1}-a|=0$，即${x_n}$收敛于a.
  • 原理二  对数列${x_n}$，若$x_{n+1}=f(x_n), n=1, 2, \cdots$，f(x)可导，a是f(x)=x的唯一解，且$\forall x \in \mathbb{R}$，有$|f'(x) \leq k < 1$，则${x_n}$收敛于a.
  • 证明  $|x_{n+1}-a|=|f(x_n)-f(a)| \xlongequal{\text{拉格朗日中值定理}} |f'(\xi)||x_n-a| \leq k|x_n-a|$，其中$\xi$介于a与$x_n$之间，由原理一，有${x_n}$收敛于a.
  • 以上原理一、二是特殊的压缩映射过程，考生在使用它们时，要写出证明过程。
• 利用题设条件来推证。（这往往是大题的第1问）

单调有界准则

• 单调有界数列必有极限，即若数列${x_n}$单调增加（减少）且有上界（下界），则$\lim\limits_{n\to\infty}x_n$存在.
• 证明数列${x_n}$单调性的常用方法：
  • $x_{n+1}-x_n>0(<0)$或$\frac{x_{n+1}}{x_n}>1(<1)$
  • 利用数学归纳法
  • 利用重要不等式($a^2+b^2)\geq 2ab$之类)
  • $x_n-x_{n-1}$与$x_{n-1}-x_{n-2}$同号，则数列${x_n}$单调.
  • 利用结论：对$x_{n+1}=f(x_n)(n=1, 2, \cdots),x_n \in$区间 $\mathbb{I}$.
    • 若f’(x)>0，x∈区间 $\mathbb{I}$，则数列${x_n}$单调，且$\begin{cases} \text{当}x_2 > x_1\text{时，数列}{x_n}单调增加 \\ \text{当}x_2 < x_1\text{时，数列}{x_n}单调减少 \end{cases}$
    • 若f’(x)<0，x∈区间 $\mathbb{I}$，则数列${x_n}$不单调.